Der Chi-Quadrat-Test: Zusammenhänge zwischen kategorialen Variablen analysieren

Der Chi-Quadrat-Test: Zusammenhänge zwischen kategorialen Variablen analysieren

von | Okt. 23, 2025 | Hilfe für deine Dissertation, Statistik

Der Chi-Quadrat-Test: Zusammenhänge zwischen kategorialen Variablen analysieren

In der medizinischen Statistik geht es häufig um Fragestellungen wie „Tritt Krankheit X bei Frauen häufiger auf als bei Männern?“ oder „Wird Therapie Y bei älteren Menschen häufiger verwendet als bei jüngeren?“. Oder es soll herausgefunden werden, ob sich die zwei oder mehr Gruppen einer Untersuchung hinsichtlich eines bestimmten kategorialen Merkmals (Geschlecht, Bildungsgrad, ASA-Klassifikation…) unterscheiden.

Fragestellungen dieser Art sind ein klarer Fall für den χ2-Test (ausgesprochen: „Chi-Quadrat“) und hier erläutern wir dir ganz kurz anhand eines simplen Beispiels, was die Grundidee dieses Tests ist und wie du das Testergebnis richtig interpretierst.

Inhalt

Ein simples (und fiktives) Beispiel

Zusammenhang und Unabhängigkeit

Häufigkeitstabellen

Graphische Darstellung als Balkendiagramm

Der Chi-Quadrat-Test

Inhaltliche Interpretation

Effektstärkemaße: Cramérs V und Odds-Ratio (OR)

Was es noch zu beachten gibt …

Inhalt

 

Ein simples (und fiktives) Beispiel

Zusammenhang und Unabhängigkeit

Häufigkeitstabellen

Graphische Darstellung als Balkendiagramm

Der Chi-Quadrat-Test

Inhaltliche Interpretation

Effektstärkemaße: Cramérs V und Odds-Ratio (OR)

Was es noch zu beachten gibt …

Ein simples (und fiktives) Beispiel

 

Angenommen du möchtest herausfinden, ob die Wirksamkeit eines bestimmten Medikaments bei Männern und Frauen unterschiedlich ist. Dafür hast du in deiner Untersuchung bei insgesamt 200 Patient:innen folgende beiden Merkmale erhoben:

 

  1. das Geschlecht (der Einfachheit halber „weiblich“ oder „männlich“)
  2. die Wirksamkeit des Medikaments (der Einfachheit halber „wirksam“ oder „nicht wirksam“)

 

Um ein klein wenig „Statistiksprech“ in das Beispiel zu bringen: Du hast also zwei kategoriale Variablen (auch nominale Variablen genannt) mit jeweils zwei Ausprägungen (weiblich/männlich bzw. wirksam/nicht wirksam) und möchtest nun analysieren, ob zwischen diesen Variablen ein Zusammenhang besteht oder ob diese unabhängig voneinander sind.

Zusammenhang und Unabhängigkeit

 

Was bedeutet Zusammenhang bzw. Unabhängigkeit hier inhaltlich? Wenn die beiden Variablen Geschlecht und Wirksamkeit unabhängig voneinander wären, dann würde das bedeuten, dass es für die Wirksamkeit des Medikaments keine Rolle spielt, ob die Person, die es bekommt, männlich oder weiblich ist – die Wahrscheinlichkeit, dass das Medikament wirkt, wäre für alle gleich. 

 

Wenn hingegen ein Zusammenhang besteht, dann wäre die Wirksamkeit des Medikaments vom Geschlecht abhängig. Das würde bedeuten, dass das Medikament entweder bei den Frauen wirksamer ist oder eben bei den Männern.

 

Für eine solche Art Fragestellung verwendest du den Chi-Quadrat-Test, genauer gesagt den Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit, da es unterschiedliche Chi-Quadrat-Tests für ganz unterschiedliche Analysezwecke gibt.

Häufigkeitstabellen

 

Ein unverzichtbares Werkzeug bei der statistischen Analyse solcher Fragestellungen sind sogenannte Häufigkeitstabellen, oft auch Kreuztabellen genannt.

 

In einer absoluten Häufigkeitstabelle wird einfach angegeben, wie oft die verschiedenen Ausprägungen deiner beiden Variablen in deinen Daten aufgetreten sind – in unserem Beispiel also, wie oft bei den Männern das Medikament wirksam war und wie oft nicht — und das Gleiche natürlich auch bei den Frauen. Die absolute Häufigkeitstabelle könnte etwa folgendermaßen aussehen:

 

  Männer Frauen Σ
wirksam 43 82 125
nicht wirksam 39 36 75
Σ 82 118 200

 

 

  Männer Frauen Σ
wirksam 43 82 125
nicht wirksam 39 36 75
Σ 82 118 200

 

Von den 200 Patient:innen waren also 82 Männer und 118 Frauen. Bei 43 der 82 Männer war das Medikament wirksam, bei 39 nicht. Bei den Frauen zeigte das Medikament in 82 von 118 Fällen eine Wirksamkeit und in 36 von 118 Fällen war es nicht wirksam. Insgesamt war das Medikament also bei 125 Patient:innen wirksam und bei 75 nicht.

 

Oft ist es allerdings inhaltlich sinnvoller, statt der absoluten Häufigkeitstabelle die bedingte relative Häufigkeitstabelle zu verwenden, vor allem, wenn deine beiden Gruppen (hier Männer und Frauen) unterschiedlich groß sind. Für unsere Fragestellung etwa lohnt es sich anzuschauen, bei wie viel Prozent der Männer und wie viel Prozent der Frauen das Medikament wirksam bzw. nicht wirksam war. So kannst du die beiden Gruppen viel besser miteinander vergleichen und bekommst ein klareres Bild über mögliche Unterschiede. 

 

Den Prozentsatz der Frauen, bei denen das Medikament wirksam war, berechnest du ganz einfach: Du teilst die absolute Häufigkeit der Frauen, bei denen das Medikament wirksam war (82) durch die Gesamtanzahl der Frauen (118) und multiplizierst das Ergebnis mit 100. Den Rest der Tabelle bekommst du auf analoge Weise. Klar: Wenn du die Werte für die Männer bzw. für die Frauen spaltenweise addierst muss natürlich 100% rauskommen.

 

Für unser Beispiel sieht die nach den beiden Geschlechtern bedingte relative Häufigkeitstabelle folgendermaßen aus:

 

  Männer Frauen
wirksam 52,44 % 69,49 %
nicht wirksam 47,56 % 30,51 %
Σ 100,0 % 100,0 %

 

 

  Männer Frauen
wirksam 52,44 % 69,49 %
nicht wirksam 47,56 % 30,51 %
Σ 100,0 % 100,0 %

 

Anhand dieser Tabelle kannst du sofort (deskriptiv!) ablesen, dass der Prozentsatz der Frauen, bei denen das Medikament wirksam war, höher ist als der entsprechende Prozentsatz bei den Männern (69.49 % vs. 52.44 %). 

Graphische Darstellung als Balkendiagramm

 

Eine einfache Möglichkeit, diesen Unterschied auch graphisch darzustellen, ist das Balkendiagramm. Dabei werden die entsprechenden Häufigkeiten (du kannst mit einem Balkendiagramm sowohl die absoluten als auch die bedingten Häufigkeiten darstellen) durch die Höhe entsprechender Balken repräsentiert.

 

Ein Balkendiagramm für unsere bedingte relative Häufigkeitstabelle würde dann folgendermaßen aussehen:   

Balkendiagramm Chi Quadrat Test Medizin

Der Chi Quadrat-Test

 

Dass das Medikament in deiner Stichprobe bei den Frauen deskriptiv häufiger wirksamer war als bei den Männern bedeutet für sich genommen natürlich noch nicht, dass es auch auf der Populationsebene („allgemein“) bei Frauen wirksamer ist als bei Männern. Um das herauszufinden müssen wir einen inferenzstatistischen Test (nämlich den besagten Chi-Quadrat-Test) durchführen!

 

Falls dir der für die Statistik fundamentale Unterschied zwischen Stichproben- und Populationsebene noch nicht ganz klar sein sollte oder du dich fragst, warum man überhaupt statistische Tests durchführt, dann schau dir gerne unseren Blogartikel zu diesem Thema  an.  

 

Die Logik des Chi-Quadrat-Tests ist (wie häufig in der Statistik) eigentlich ziemlich simpel. Die Nullhypothese lautet, dass die beiden Variablen auf Populationsebene unabhängig voneinander sind (also kein Zusammenhang besteht). Die Alternativhypothese lautet (wenig überraschend), dass ein Zusammenhang besteht.

Im Prinzip werden nun einfach die tatsächlich aufgetretenen absoluten Häufigkeiten mit jenen Häufigkeiten verglichen, die man erwarten würde, wenn kein Zusammenhang zwischen den Variablen bestünde (wie man diese bei Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeiten bekommt ist am dieser Stelle nicht wichtig).

 

Diese Abweichungen zwischen den tatsächlichen und den bei Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeiten werden quadriert (deshalb Chi-Quadrat), summiert und auf bestimmte Weise normiert und schon haben wir unsere Teststatistik, die ebenfalls χ2 heißt.

 

Je größer die Teststatistik χ2 ist, umso größer sind offenbar auch die Abweichungen zwischen den tatsächlich aufgetretenen und den bei Unabhängigkeit erwarteten Häufigkeiten und umso unwahrscheinlicher ist es, dass auf Populationsebene kein Zusammenhang zwischen den beiden Variablen besteht. Für unsere Teststatistik können wir uns dann (wie bei jedem anderen Test auch) einfach den zugehörigen p-Wert anschauen und beurteilen, ob ein statistisch signifikantes Ergebnis vorliegt oder nicht.

 

Für unser Beispiel bekommen wir ein χ2 = 6.003 mit einem zugehörigen p-Wert von p = .0143. Wenn wir unser „Signifikanzniveau“ (die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art, kurz α) wie üblich auf α = .05 festgelegt haben, haben wir also ein signifikantes Testergebnis (da p < .05).

 

Wir sollten uns also dafür entscheiden, dass auf Populationsebene ein Zusammenhang zwischen der Wirksamkeit des Medikaments und dem Geschlecht besteht. Oder anders formuliert: Das Medikament wirkt bei den beiden Geschlechtern unterschiedlich.

Inhaltliche Interpretation

 

Für die klinische Praxis ist das Ergebnis, dass ein Zusammenhang zwischen zwei Variablen besteht, allerdings meistens etwas unbefriedigend, da man natürlich genauer wissen möchte, wie dieser Zusammenhang denn konkret aussieht.

 

Anders gesagt: Wenn du bei Zusammenhangsanalysen mit kategorialen Variablen  einfach nur den Chi-Quadrat-Test durchführst und dich dann bei einem signifikanten Ergebnis zurücklehnst, verpasst du die eigentlich klinisch relevanten Informationen. Du solltest stattdessen weitere Analysen durchführen, um den gefundenen Zusammenhang inhaltlich genauer beschreiben und interpretieren zu können.

 

Glücklicherweise ist unser Beispiel so einfach aufgebaut, dass für eine genauere Beschreibung des gefundenen Zusammenhangs ein Blick auf die erstellten Häufigkeitstabellen genügt. Da beide Variablen (Geschlecht und Medikamentenwirksamkeit) jeweils nur zwei Ausprägungen haben, gibt es auch nur zwei Möglichkeiten, wie der gefundene Zusammenhang zwischen Geschlecht und Medikamentenwirksamkeit inhaltlich interpretiert kann:

 

  1. das Medikament ist wirksamer bei den Frauen oder
  2. das Medikament ist wirksamer bei den Männern.

 

Und unsere bedingte Häufigkeitstabelle zeigt ja, dass der Zusammenhang hier so aussieht, dass das Medikament bei den Frauen wirksamer ist als bei den Männern.

Wenn in deiner Untersuchung allerdings eine der beiden Variablen mehr als zwei Kategorien haben sollte (z.B. weiblich, männlich und divers beim Geschlecht), wird die Sache etwas komplexer.

Denn nun gibt es natürlich viel mehr Möglichkeiten, wie der gefundene Zusammenhang inhaltlich aussehen kann. Und ein Blick auf die Häufigkeitstabellen reicht hier leider nicht, um herauszufinden, welche dieser Möglichkeiten zutrifft. 

Um einen signifikanten Chi-Quadrat-Test in diesem Fall klinisch-inhaltlich sinnvoll und praxisrelevant interpretieren zu können, ist es in aller Regel notwendig, weitere post-hoc-Analysen durchzuführen.

Effektstärkemaße: Cramérs V und Odds-Ratio (OR)

 

Zusätzlich zu dem p-Wert und der Aussage, dass ein signifikantes Testergebnis vorliegt, ist es natürlich auch hilfreich, etwas mehr über die Größe des Effekts — also die „Stärke“ des gefundenen Zusammenhangs — sagen zu können. Die Größe der Teststatistik bzw. der p-Wert allein reicht für eine Beurteilung nicht aus, da beide (wie so oft in statistischen Tests) unter anderem von der Größe deiner Stichprobe abhängig sind.  

 

Das für alle Fälle geeignetste Maß der Effektstärke für einen Chi-Quadrat-Test ist Cramérs V, das immer nur Werte zwischen 0 und + 1 annehmen kann. Ein V = 0 bedeutet dabei, dass keinerlei Zusammenhang vorliegt, ein V = 1, dass ein „perfekter“ oder „vollständiger“ Zusammenhang vorliegt.

 

Für die Beurteilung der Effektgröße V kannst du dich einfach an den Konventionen von Cohen (1988) zur Beurteilung der Größe der Korrelation orientieren:

  • kleiner Effekt: ab V = .1
  • mittlerer Effekt: ab V = .3
  • großer Effekt: ab V = .5

 

In unserem Beispiel ist V = .173, was sich nach diesen Konventionen als „kleiner Effekt“ beurteilen lässt.

 

In der klinischen Praxis gibt man aufgrund der besseren Interpretierbarkeit häufig auch das Odds-Ratio (OR) als Maß der Effektstärke an. Wie der Name schon andeutet handelt es sich hier um das Verhältnis (ratio) zweier odds, was man auch mit „Chance“ übersetzen könnte.

 

Was ist damit gemeint? Schauen wir uns wieder die absolute Häufigkeitstabelle unseres Beispiels an:

 

  Männer Frauen Σ
wirksam 43 82 125
nicht wirksam 39 36 75
Σ 82 118 200

 

 

  Männer Frauen Σ
wirksam 43 82 125
nicht wirksam 39 36 75
Σ 82 118 200

 

Die Chance, dass das Medikament bei Männer wirksam ist, ist gerade die Anzahl der Männer, bei denen das Medikament wirksam war, geteilt durch die Anzahl der Männer, bei denen es nicht wirksam war, also:

 

43/39 = 1.103

 

Klar: Wenn das Medikament bei genauso vielen Männern wirksam wie nicht wirksam wäre, dann wäre die Chance der Wirksamkeit bei den Männern gerade Eins. Wenn es sogar bei mehr Männern nicht wirksam wäre, wäre die Chance kleiner Eins.

 

In der Gruppe der Frauen berechnet sich die entsprechende Chance analog und man erhält hier den Wert

 

82/36 = 2.278

 

Bei beiden Geschlechtern ist also die Chance, dass das Medikament wirksam ist, größer als Eins (was auf eine generelle Wirksamkeit des Medikaments hindeutet), bei den Frauen ist die Chance jedoch deutlich höher.

Das Odds–Ratio berechnet sich nun ganz einfach als das Verhältnis dieser beiden Chancen. Welche der beiden Möglichkeiten du berechnen und als Effektstärke präsentieren solltest (Chance der Wirksamkeit bei den Männern geteilt durch Chance der Wirksamkeit bei den Frauen oder genau anders herum) hängt allein davon ab, welche inhaltliche Interpretation du für deinen Fall bevorzugst.

 

Spielen wir einfach mal beide Varianten für unser Beispiel durch:

 

  1. Variante: Chance der Männer geteilt durch Chance der Frauen. In diesem Fall erhalten wir ein Odds-Ratio von

 

OR = 1.103/2.278 = 0.484.

 

Was sagt uns das? Das bedeutet, dass die Chance, dass das Medikament bei Männern wirksam ist, nur etwa halb so hoch ist wie bei den Frauen.

 

  1. Variante: Chance der Frauen geteilt durch Chance der Männer. In diesem Fall erhalten wir ein Odds-Ratio von

 

OR =  2.278/1.103 = 2.065

 

Das bedeutet offenbar, dass die Chance, dass das Medikament bei Frauen wirksam ist, etwa doppelt so hoch ist wie bei den Männern.

 

Du siehst, beide Aussagen sagen im Prinzip das Gleiche, nur auf unterschiedliche Art und Weise. In der Praxis ist häufig die Interpretation eines Odds-Ratios größer als Eins leichter nachzuvollziehen als ein Odds-Ratio kleiner Eins.   

Was es noch zu beachten gibt …

 

Besonders wichtig ist, dass du den Chi-Quadrat-Test nur dann sinnvoll durchführen kannst, wenn du unabhängige Stichproben hast, wie in unserem Beispiel. Das bedeutet, dass jede deiner PatientInnen nur in einer Zelle deiner Häufigkeitstabelle auftauchen darf. Jeder Patient ist entweder männlich oder weiblich und entweder war das Medikament wirksam oder nicht.

 

Unabhängige Stichproben/Beobachtungen liegen z.B. nicht vor, wenn du ein Messwiederholungsdesign hast und die gleichen Patient:innen zu mehreren Messzeitpunkten untersucht werden. Hier spricht man dann auch von abhängigen Stichproben. Abhängige Stichproben sind aber kein Grund zum Verzweifeln, denn dann kannst du statt des Chi-Quadrat-Tests McNemars-Test zur Analyse verwenden.

 

Solltest du insgesamt eine „recht kleine“ Stichprobe haben (Daumenregel: N < 20) oder sollten die Häufigkeiten in einer oder mehrerer Zellen deiner Häufigkeitstabelle „recht klein“ sein (Daumenregel: weniger als 5), dann kannst du sowohl für den Chi-Quadrat-Test als auch für McNemars-Test bestimmte Korrekturmethoden verwenden, um einer Verzerrung der Ergebnisse durch die geringe Stichprobengröße entgegenzuwirken.      

Zusammenhänge verstehen: Die Korrelationsanalyse in der medizinischen Statistik

Zusammenhänge verstehen: Die Korrelationsanalyse in der medizinischen Statistik

von | Okt. 9, 2024 | Statistik

Zusammenhänge verstehen: Die Korrelationsanalyse in der medizinischen Statistik

  • Warum werden in der medizinischen Statistik eigentlich so häufig Korrelationen berechnet? Und was genau ist eine Korrelation?
  • Kann man Korrelationen immer berechnen? Und was sollte man bei der Berechnung und Interpretation von Korrelationen beachten?
  • Was sind Scheinkorrelationen und verdeckte Korrelationen?
  • Und warum sind Korrelation und Kausalität nicht das Gleiche?

In diesem Artikel werden wir diese Fragen beantworten (und noch viel mehr!), ohne dass du dafür tiefere statistische Kenntnisse benötigst.

Inhalt

Zusammenhang und linearer Zusammenhang
Wertebereich und Interpretation der Korrelation
Stolperfallen bei der Interpretation
Stichprobe und Population
Spezialfälle der Korrelation
Nicht-lineare Zusammenhänge analysieren

Inhalt

Zusammenhang und linearer Zusammenhang
Wertebereich und Interpretation der Korrelation
Stolperfallen bei der Interpretation
Stichprobe und Population
Spezialfälle der Korrelation
Nicht-lineare Zusammenhänge analysieren

Aber zunächst noch ein Hinweis, bevor es losgeht:
Wenn man in der Statistik von „der Korrelation“ spricht, meint man in der Regel die Korrelation nach Pearson (kurz: Pearson-Korrelation oder auch Produkt-Moment-Korrelation). Es gibt allerdings auch für spezielle (und deutlich seltenere) Fälle andere Korrelationsarten, die man berechnen kann. Wir werden diese Fälle ganz am Schluss dieses Artikels behandeln. Bis dahin ist mit „Korrelation“ immer die Pearson-Korrelation gemeint.

 

Ganz wichtig:
Um die Pearson-Korrelation zwischen zwei Merkmalen sinnvoll berechnen zu können, sollten beide Variablen mindestens intervallskaliert sein.

Zusammenhang und linearer Zusammenhang

In der medizinischen Statistik findet man häufig Untersuchungsfragen der Art „Gibt es einen Zusammenhang zwischen der Dosis von Medikament X und der Herzfrequenz (oder der Stärke von Kopfschmerzen, der Dauer einer Infektion, oder, oder, oder)?“

 

Eine (!) Möglichkeit, Fragen dieser Art nachzugehen, ist die Korrelationsanalyse. Der Knackpunkt solcher Fragestellungen ist, dass das Wort „Zusammenhang“ aus statistischer Perspektive ziemlich viele Bedeutungen haben kann. Mit einer Korrelationsanalyse untersucht man allerdings nur eine ganz bestimmte Form des Zusammenhangs, nämlich den linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen. Ganz allgemein dient die Korrelation dazu, die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Merkmalen zu quantifizieren, also in einer Zahl auszudrücken.

 

Aber was genau ist ein linearer Zusammenhang? Das wollen wir dir gleich an einem einfachen Beispiel erklären.

 

Angenommen, du möchtest den Zusammenhang zwischen der Dosis eines Medikaments und der Herzfrequenz untersuchen. Du erhebst dazu nun bei 100 Personen beide Merkmale und schaust dir die erhobenen Daten anschließend anhand eines Streudiagramms (einer Punktwolke) an. Du solltest dir übrigens immer, wenn es um die Analyse von Zusammenhängen zwischen zwei Variablen geht, deine Daten grafisch veranschaulichen. Warum du das tun solltest, wird gleich deutlich werden.

 

Die folgende Grafik zeigt dir sechs mögliche (und natürlich vollkommen fiktive) Punktwolken, die man für dieses Beispiel bekommen könnte. Es gibt natürlich noch unzählige andere Möglichkeiten, wie die Punktwolke aussehen könnte.

Ohne große statistische Kenntnisse zu haben, könnte man die Punktwolken nun folgendermaßen beschreiben:

 

Fall a) Hier lässt sich ein deutlicher Zusammenhang erkennen. Mit einer höheren Dosis geht tendenziell auch eine höhere Herzfrequenz einher. Man spricht hier auch von einem positiven linearen Zusammenhang („je mehr von dem einen, desto mehr von dem anderen“).

 

Fall b) Hier lässt sich ebenfalls ein deutlicher Zusammenhang erkennen. Mit einer höheren Dosis geht hier jedoch tendenziell eine niedrigere Herzfrequenz einher. Man spricht hier auch von einem negativen linearen Zusammenhang („je mehr von dem einen, desto weniger von dem anderen“).

 

Fall c) Hier lässt sich ebenfalls ein deutlicher Zusammenhang erkennen. Der Zusammenhang ist hier allerdings nicht linear, sondern „komplexer“. Man nennt das manchmal auch einen „U-förmigen“ oder auch quadratischen Zusammenhang.  Inhaltlich bedeutet das hier, dass mit niedrigeren Dosen eine höhere Herzfrequenz einhergeht, die Herzfrequenz dann allerdings mit zunehmender Dosis (nicht linear) abnimmt und dann ab einer gewissen Dosis wieder (nicht-linear) zunimmt.

 

Fall d) Hier lässt sich ebenfalls ein deutlicher Zusammenhang erkennen, dieser ist aber auch komplexer als in den Fällen a) und b). Hier steigt die Herzfrequenz zwar zunächst mit der Dosis, ab einer bestimmten Dosis verringert sich dann jedoch die Herzfrequenz mit zunehmender Dosis.

 

Fall e) Hier lässt sich kein Zusammenhang erkennen. Unabhängig von der Dosis bleibt die Herzfrequenz im Großen und Ganzen konstant.

 

Fall f) Hier lässt sich kein Zusammenhang erkennen. Die Punkte scheinen vollkommen zufällig verteilt zu sein.

 

Die Sache mit der Korrelationsanalyse ist nun, dass Zusammenhänge wie in Fall c) und d) dargestellt, nicht von der Korrelation „erfasst“ werden. Heißt: Man sieht sofort, dass ein ziemlich eindeutiger Zusammenhang vorliegt, berechnet man jedoch die Korrelation, dann wäre diese in etwa so hoch wie in den Fällen e) und f), bei denen kein Zusammenhang vorliegt.

Daher unbedingt merken:

 

  1. Mit der Korrelation erfasst man nur den linearen Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen. Vereinfacht gesagt heißt „linear“ dabei, dass man, wie du in Fall a) und b) sehen kannst, die Punktwolke gut durch eine Gerade repräsentieren kann, die einen positiven (wie in Fall a) oder negativen (wie in Fall b) Anstieg hat. Liegt ein anderer Typ von Zusammenhang vor (wie in Fall c und d), dann ist die Berechnung der Korrelation nicht sinnvoll.
  2. Daher solltest du dir bei der Analyse von Zusammenhängen zwischen zwei Merkmalen als ersten Schritt deine Daten immer grafisch veranschaulichen, um beurteilen zu können, ob die Berechnung der Korrelation überhaupt sinnvoll ist.

Nachdem wir diesen wichtigen Punkt geklärt haben, werden wir uns nun anschauen, welche Werte die Korrelation überhaupt annehmen kann und wie die Größe der Korrelation mit der „Form“ der zugehörigen Punktwolke zusammenhängt.

 

Interpretation der Korrelation

 

Angenommen, du hast dir also nun deine Daten grafisch veranschaulicht und die Berechnung der Korrelation ist tatsächlich sinnvoll (heißt: es liegt kein nicht-linearer Zusammenhang vor). Was bedeutet dann die Größe der Korrelation?

 

Die Korrelation soll die Stärke des linearen Zusammenhangs in einer Zahl ausdrücken. Daher wäre es nützlich, wenn

 

  1. die Korrelation den Wert 0 annimmt, wenn kein linearer Zusammenhang vorliegt,
  2. die Korrelation umso größer wird, je größer der lineare Zusammenhang ist
  3. du anhand der Korrelation sehen kannst, ob ein positiver linearer Zusammenhang („je mehr von dem einen, desto mehr auch von dem anderen“) oder ein negativer linearer Zusammenhang („je mehr von dem einen, desto weniger von dem anderen“) vorliegt, und
  4. die Größe der Korrelation unabhängig von Einheit, Mittelwert und Standardabweichung der beiden Variablen wäre, sodass die Interpretation der Größe der Korrelation für jede mögliche Untersuchungssituation immer die gleiche ist und du somit auch Korrelationen aus unterschiedlichen Studien miteinander vergleichen kannst.

Glücklicherweise erfüllt die Korrelation all diese Eigenschaften! Danke, Statistik! 😉

 

Normierung des Korrelationskoeffizienten

Berechnest du die Korrelation, dann liegt diese immer im Bereich zwischen  -1 und +1. Das Vorzeichen gibt dir dabei an, ob ein positiver (+) oder ein negativer (-) linearer Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen vorliegt. Ist die Korrelation 0, liegt kein linearer Zusammenhang vor. Je näher die Korrelation bei den beiden „Endpunkten“ +1 bzw. -1 liegt, umso „stärker“ ist auch der positive bzw. negative lineare Zusammenhang zwischen beiden Variablen. Ist die Korrelation genau +1 oder -1, dann liegen sämtliche Punkte der Punktwolke auf einer Geraden (mit positivem oder negativem Anstieg).

 

In den folgenden Grafiken kannst du einen Eindruck davon bekommen, wie für verschiedene mögliche „Punktwolkenformen“ die zugehörige Größe der Korrelation aussieht.

Die Korrelation zwischen zwei Variablen wird in der Statistik auch kurz mit r bezeichnet und steht hier über der jeweiligen Punktwolke.

Wir beginnen mit Beispielen für die positive Korrelation: 

 

Und hier das Gleiche noch einmal für die negative Korrelation:

Man kann hier wunderbar sehen, dass mit zunehmender Größe der Korrelation die Form der Punktwolke immer „schmaler“ wird und sich immer weiter einer Geraden annähert.

 

Bei einer Korrelation von +1 oder -1, also wenn alle Punkte auf einer Geraden liegen, spricht man auch von einem „perfekten linearen Zusammenhang“ oder auch von einem „deterministischen Zusammenhang“. Dieser Fall wird natürlich in Praxis so gut wie nie auftreten (und bei Patientendaten schon dreimal nicht).

 

Zur weiteren Interpretation der Größe der Korrelation greift man häufig auf eine Konvention von Cohen (1988) zurück, nach der es sich bei Korrelationen von

  • .1 ≤ |r| < .3 um „kleine Zusammenhänge“
  • .3 ≤ |r| < .5 um „mittlere Zusammenhänge“ und
  • |r| > .5 um „große Zusammenhänge“

handelt (|r| steht hier für die absolute Größe der Korrelation, also unabhängig vom Vorzeichen).

WICHTIG: Eine Korrelation von 0 oder nahe 0 bedeutet NICHT zwangsläufig, dass kein Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen besteht, sondern eben nur, dass kein linearer Zusammenhang besteht. Würdest du etwa die Korrelation von Fall c) von oben berechnen, dann würdest du eine Korrelation von fast 0 (r = – 0.0034, wenn du es genau wissen möchtest) bekommen, obwohl ein nahezu perfekter, aber eben nicht-linearer, Zusammenhang zwischen Dosis und Herzfrequenz besteht!

Um diesen Punkt nochmal anschaulich zu verdeutlichen zeigt die folgende Graphik wieder die Punktwolke von Fall c), diesmal ist zusätzlich die zugehörige Regressionsgerade eingezeichnet.

Das Thema dieses Artikels ist zwar die Korrelation, aber es besteht ein enger inhaltlicher Zusammenhang zwischen der Korrelation und der einfachen linearen Regression. Ganz einfach gesprochen lässt sich anhand des Anstiegs der Regressionsgeraden die „Richtung“ der Korrelation ablesen. Liegt eine positive Korrelation vor, ist auch der Anstieg der Regressionsgeraden positiv. Liegt hingegen eine negative Korrelation vor, ist auch der Anstieg der Regressionsgeraden negativ. Bei einer Korrelation von 0 hat die Regressionsgerade einen Anstieg von 0, ist also einfach nur eine „waagerechte Linie“, wie es hier in Fall c) vorliegt. 

 

Außerdem solltest du bei der Interpretation deiner Korrelation auch nicht in die folgenden Fallen stolpern…

 

Stolperfallen bei der Interpretation

 

1. Korrelation vs. Kausalität

 

Dass Korrelation und Kausalität zwei verschiedene Paar Schuhe sind hast du vermutlich schon einmal gehört. Die Korrelation ist erst einmal nichts anderes als eine formal-statistische Eigenschaft zwischen zwei Variablen und sagt für sich genommen überhaupt nichts über irgendwelche möglichen Ursache-Wirkungszusammenhänge aus.

 

Beispielsweise wurde in ziemlich vielen (und ziemlich oft zitierten) Studien eine positive Korrelation zwischen dem Spielen von Ego-Shootern und der Aggressionsbereitschaft gefunden. Aber heißt das nun, dass das vermehrte Spielen von Ballerspielen die höhere Aggressionsbereitschaft kausal verursacht? Und sollte man deshalb nicht besser alle Ballerspiele verbieten?

 

Diese Frage ist schwer zu beantworten, aber sie lässt sich definitiv nicht allein über Korrelationsanalysen beantworten. Es ist natürlich möglich, dass das Spielen von Ballerspielen die Aggressionsbereitschaft erhöht. Ebenso möglich ist es allerdings auch, dass Personen mit erhöhter Aggressionsbereitschaft eben gerne Ballerspiele spielen. Und es kann natürlich auch sein, dass ein oder mehrere andere Faktoren (z.B. genetische Dispositionen) sowohl die erhöhte Aggressionsbereitschaft als auch die Liebe zu Ballerspielen verursacht.

 

Es gibt selbstverständlich auch Fälle, bei denen bestimmte Möglichkeiten von vornherein unplausibel sind. In unserem Beispiel ist es etwa ziemlich unplausibel, dass eine erhöhte Herzfrequenz eine höhere Medikamentendosis „verursacht“.

 

Als Faustregel kannst du dir aber merken: Du solltest generell die Korrelation zwischen zwei Merkmalen für sich allein genommen nicht kausal interpretieren.

2. Scheinkorrelationen

 

Häufig findet man auch substanzielle Korrelationen zwischen Merkmalen, die in keinerlei (theoretischem) Bezug zueinanderstehen. So lässt sich etwa ein fast perfekter linearer Zusammenhang (r = .996) zwischen der Scheidungsrate in Maine (Bundesstaat in den USA) und dem Margarinekonsum pro Kopf in den USA feststellen. Ein Fall für die nächste Ausgabe von Science? Besser nicht…

 

Solche Korrelationen bezeichnet man auch als Scheinkorrelationen. Der Punkt dabei ist, dass man alles Mögliche miteinander korrelieren kann und dann eben hin und wieder auch durchaus substanzielle Korrelationen findet, die aber auf inhaltlich-theoretischer Ebene vollkommen bedeutungslos oder „zufällig“ sind.

 

Für dich heißt das: Du solltest in deinen Daten nicht einfach alle möglichen Korrelationen berechnen (nur weil die lediglich einen Klick entfernt sind und du es kannst), sondern wie auch bei allen anderen statistischen Analysen immer theoriegeleitet vorgehen. Das heißt, du solltest aufgrund klinisch-theoretischer Überlegungen begründete Vermutungen haben, warum bestimmte Merkmale in einem Zusammenhang stehen sollen.

 

Eine wirklich nette Zusammenstellung wirklich lustiger Scheinkorrelationen lässt sich übrigens unter

https://www.tylervigen.com/spurious-correlations

finden.

3. Verdeckte Korrelationen/Simpson-Paradox

 

Ein weiterer Punkt, den du bei Korrelationsanalysen stets beachten solltest, ist, dass deine berechnete Korrelation nicht „absolut“ zu verstehen ist. Was ist damit gemeint? Das lässt sich am besten wieder anhand eines einfachen Beispiels erklären, das auch als „Simpson-Paradox“ bekannt ist (obwohl es sich genau genommen gar nicht um ein Paradoxon handelt, aber es klingt halt toll).

 

Nehmen wir mal an, du hättest für unser Beispiel von oben (Medikamentendosis und Herzfrequenz) folgende Punktwolke bekommen (zur Verdeutlichung ist auch hier wieder die zugehörige Regressionsgerade eingezeichnet):

Berechnest du jetzt für diese Daten die Korrelation zwischen Medikamentendosis und Herzfrequenz, dann ist diese hier r = – 0.54. Es besteht also ein recht großer negativer linearer Zusammenhang, was du auch an dem negativen Anstieg der Regressionsgerade ablesen kannst.

 

Nehmen wir weiter an, du würdest jetzt die Männer und die Frauen deiner Stichprobe (farblich) getrennt betrachten und bekämst dann folgende Punktwolke:

Beachte, dass die Datenpunkte bei beiden Punktwolken vollkommen identisch sind! Würdest du jetzt aber die Korrelation zwischen Dosis und Herzfrequenz für die Männer und Frauen getrennt berechnen, dann wäre die sowohl für die Männer als auch für die Frauen in etwa r = 0.6, also jeweils ein recht großer positiver linearer Zusammenhang! Dass es sich hier um jeweils positive lineare Zusammenhänge handelt kannst du wiederum an den beiden Regressionsgeraden ablesen, die hier für die Frauen und die Männer getrennt eingezeichnet sind.

 

Was soll dir dieses Beispiel zeigen? Wenn du Korrelationsanalysen durchführst, dann ist das Ergebnis immer von deiner konkreten „Datenkonstellation“ abhängig, und zwar insbesondere von weiteren Variablen, die du in deine Analyse(n) mit einbeziehst (in dem Beispiel das Geschlecht).

 

Das Problem ist allerdings, dass du bei der Datenerhebung natürlich gar nicht vollständig wissen kannst, welche Variablen für die Analyse wichtig sein könnten. So könnte etwa in unserem Beispiel der lineare Zusammenhang zwischen Dosis und Herzfrequenz wieder anders aussehen, wenn man jetzt noch zusätzlich getrennt nach sozioökonomischem Status, Vorliegen einer bestimmten Krankheit, BMI usw. auswerten würde.

Du siehst also, die eigentliche Schwierigkeit bei Zusammenhangsanalysen besteht nicht darin, diese durchzuführen (das macht ein Programm für dich), sondern die Ergebnisse klinisch-inhaltlich angemessen zu interpretieren! 

Und dafür ist auch (wieder mal) der Unterschied zwischen Stichprobe und Population wichtig!

Stichprobe und Population

 

Bisher haben wir ja nur darüber gesprochen, wie man für eine konkrete Stichprobe die Korrelation berechnet. In der Regel möchtest du aber nicht (nur) wissen, ob ein linearer Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen deiner Stichprobe besteht, sondern ob ein solcher Zusammenhang in der Population, aus der deine Stichprobe stammt, existiert. Oder kurz gesagt: Du möchtest einen inferenzstatistischen Test durchführen.

 

In unserem Beispiel möchtest du also nicht nur wissen, ob sich ein Zusammenhang zwischen Medikamentendosis und Herzfrequenz bei den 100 von dir untersuchten Personen finden lässt, sondern eben ganz allgemein, auf alle Personen bezogen.

 

Glücklicherweise folgt auch der Korrelationstest der üblichen Logik inferenzstatistischer Tests, die du in unserem Grundlagenartikel dazu nachlesen kannst.

 

Die Korrelation auf Populationsebene wird mit ρ (sprich: rho) bezeichnet und die Null- und Alternativhypothese für diesen Test lauten demzufolge:

H0: ρ = 0

H1: ρ ≠0

Die H0 besagt also, dass auf Populationsebene kein linearer Zusammenhang besteht und die (ungerichtete) H1 besagt, dass ein linearer Zusammenhang besteht, wobei nicht spezifiziert ist, ob dieser positiv oder negativ ist. Gelegentlich findet man auch Situationen, in denen die H1 gerichtet ist, also spezifisch auf einen positiven bzw. negativen linearen Zusammenhang getestet wird.

 

Als Ergebnis deines Tests bekommst du wieder einen p-Wert und wenn dieser kleiner ist als dein α, dann solltest du die H0 verwerfen. Und hier gilt natürlich auch wieder, dass der p-Wert von der Stichprobengröße beeinflusst wird und du dein Ergebnis auf den 3 Ebenen statistische Signifikanz, Effektgröße und klinische Bedeutsamkeit interpretieren solltest. Falls dir das alles nichts sagt: Das alles ist ausführlich in unserem Grundlagenartikel erklärt!

 

Was du tun kannst, wenn deine beiden Variablen nicht intervallskaliert sind, erklären wir dir nun im letzten Abschnitt.

Spezialfälle der Korrelation

 

Wenn deine beiden Merkmale nicht intervallskaliert sind, dann lassen sich glücklicherweise trotzdem Zusammenhangsanalysen durchführen, in denen nicht die Produkt-Moment-Korrelation, sondern eine andere „Korrelationsvariante“ berechnet werden kann. Ohne näher darauf einzugehen, wie genau diese verschiedenen Varianten berechnet werden, wollen wir dir hier eher einen Überblick anbieten.

 

1. Fall: Eine intervallskalierte und eine ordinalskalierte Variable oder zwei ordinalskalierte Variablen

Für diesen Fall lässt sich die Rangkorrelation, auch Spearman-Korrelation genannt, berechnen. Auch diese liegt immer zwischen – 1 und +1 und lässt sich prinzipiell so interpretieren wie die Produkt-Moment-Korrelation.

 

Die Spearman-Korrelation ist mit Abstand der am häufigsten auftretende „Spezialfall“ und nach der Produkt-Moment-Korrelation die am zweithäufigsten verwendete Art der Korrelationsanalyse.

 

2. Fall: Eine intervallskalierte Variable und eine dichotome Variable

Hier lässt sich die punktbiseriale Korrelation berechnen, auch diese liegt immer zwischen  -1 und +1. Die Interpretation hängt hier davon ab, welche Ausprägung der dichotomen Variable mit ‚0‘ und welche mit ‚1‘ kodiert ist. Eine positive punktbiseriale Korrelation bedeutet dabei, dass ein positiver Zusammenhang zwischen der intervallskalierten Variable und der Ausprägung der dichotomen Variable, die mit ‚1‘ kodiert ist, vorliegt. Wurde beispielsweise das Geschlecht (0 = Männer, 1 = Frauen) und die Herzfrequenz erhoben und du bekommst eine positive punktbiseriale Korrelation, dann bedeutet das inhaltlich, dass die Frauen deiner Stichprobe eine höhere Herzfrequenz aufweisen als die Männer (und bei einer negativen Korrelation genau andersherum).

 

Gelegentlich gibt es auch Situationen, in denen eine intervallskalierte Variable künstlich dichotomisiert wird. So könnte man etwa das Alter von Patienten lediglich in 2 Kategorien („jung“ und „alt“) einteilen. Für diesen Spezialfall (eine intervallskalierte und eine künstlich dichotomisierte Variable) lässt sich auch die biseriale Korrelation berechnen.

 

Die biseriale Korrelation kann auch Werte außerhalb des Bereiches zwischen -1 und +1 annehmen. Zusätzlich ist die Berechnung nur dann sinnvoll, wenn die beiden intervallskalierten Variablen normalverteilt sind. Im Zweifel solltest du daher stets die punktbiseriale Korrelation vorziehen.

 

3. Fall: Eine ordinalskalierte Variable und eine dichotome Variable

In diesem Fall lässt sich die biseriale Rangkorrelation berechnen. Der Wertebereich ist hier wieder zwischen -1 und +1 und die Interpretation analog zur punktbiserialen/biserialen Korrelation.

 

4. Fall: Zwei dichotome Variablen

Hast du zwei dichotome Variablen, dann kannst du den Φ-Koeffizienten (sprich: phi) oder Cramérs V bestimmen. Beide Größen sind ist eng verwandt mit dem Kontingenzkoeffizienten χ2 (sprich: Chi2), der sich allgemein für zwei kategoriale/qualitative Variablen berechnen lässt. Der Φ-Koeffizient kann auch Werte außerhalb des Bereiches zwischen -1 und +1 annehmen und die Interpretation des Koeffizienten hängt hier wesentlich von der Kodierung der beiden dichotomen Variablen ab.

 

Möchtest du den Φ–Koeffizienten oder Cramérs V im Rahmen des χ2-Tests berechnen, haben wir hier einen Onlinekurs zum Thema erstellt.

 

Wir haben dir zum besseren Überblick die verschiedenen Korrelationsarten bei unterschiedlichen Skalentypen der beiden Variablen in folgender Tabelle noch einmal zusammengefasst.

Variable 1
Variable 2 Intervall Ordinal Dichotom
Intervall Pearson-Korrelation

Rangkorrelation
(Spearman)

 Punktbiseriale Korrelation
Ordinal

 

–

 Rangkorrelation (Spearman)  Biseriale Rangkorrelation
Dichotom

 

–

 

–

 

Φ-Koeffizient

 

Da die Berechnung einer Korrelation (egal welche) wirklich nur einen Klick erfordert und du aber durch simples Anklicken und Berechnen leider auch schnell in eine der dargestellten Stolperfallen taumeln kannst, solltest du, wenn du Zusammenhangsanalysen durchführst, bestenfalls immer nach dem folgenden Schema vorgehen:

 

  1. Überlege dir vorher, welche inhaltlich-theoretischen Vermutungen du bzgl. des Zusammenhangs zwischen den beiden Merkmalen hast und warum du diese hast! Gibt es vielleicht noch eine Variable, die du zusätzlich mit in deine Analysen einbeziehen solltest (siehe Simpson-Paradox)?
  2. Veranschauliche dir deine Daten in einer Grafik (ja, unbedingt)!
  3. Überlege anhand der graphischen Veranschaulichung deiner Daten, ob die Berechnung einer Korrelation überhaupt für deinen Fall sinnvoll ist!
  4. Berechne die Korrelation und führe ggf. einen statistischen Test durch!
  5. Interpretiere die Korrelation und das Testergebnis auf den 3 Ebenen statistische Signifikanz, Effektgröße und inhaltlich-klinische Bedeutsamkeit!

Nicht-lineare Zusammenhänge analysieren

 

Falls du bei der graphischen Veranschaulichung deiner Daten feststellen solltest, dass bei dir ein nicht-linearer Zusammenhang (z.B. ein quadratischer wie in Fall c) von oben) vorliegt, dann solltest du natürlich die Korrelation nicht berechnen (weder die Korrelation nach Pearson noch die nach Spearman)! Aber was kannst du in diesem Fall alternativ verwenden, um die Größe des Zusammenhangs zwischen deinen beiden Variablen zu beschreiben?

 

Hier kommt es ein wenig darauf an, was das genaue Ziel deiner Untersuchung ist. Möchtest du die Daten eher in einem Regressionskontext analysieren, dann könntest du auf nichtlineare oder polynomiale Regressionen zurückgreifen. Beides sind recht komplexe Verfahren, die wir dir an anderer Stelle erklären.  Wenn du allerdings „lediglich“ die Stärke des Zusammenhangs zwischen deinen beiden Variablen erfassen und inferenzstatistisch testen möchtest, dann ist die sog. Distanzkorrelation (distance correlation) die Methode der Wahl!  Das ist ein recht neues und im Vergleich zur „normalen Korrelation“ mathematisch deutlich anspruchsvolleres Konzept, das sich aber generell auf jede „Art“ von Zusammenhang (selbst lineare) anwenden lässt. Eine einfache Berechnung der Distanzkorrelation in SPSS ist bisher nicht möglich, in R hingegen lässt sich die Distanzkorrelation über einen einfachen Befehl berechnen. Vielleicht also ein weiterer Grund, sich näher mit R auseinanderzusetzen… 😉

Wie R funktioniert erklären wir dir übrigens ebenfalls in unserem Grundlagenkurs.

 

Und ganz zum Schluss noch ein kurzer Ausblick: Die Korrelation (Pearson-Korrelation) zwischen zwei Variablen wird uns im Kontext der einfachen linearen Regression wieder begegnen und dort eine zentrale Rolle spielen. Die Regressionsgerade soll ja gerade den linearen Zusammenhang zwischen der abhängigen Variable und dem Prädiktor widerspiegeln und „wie gut“ die Regressionsgerade deine Daten beschreibt ist dann letztendlich von der (absoluten) Größe der Korrelation zwischen abhängiger Variable und Prädiktor abhängig.

 

Freu dich also schon, auf das, was kommt und leg bis dahin schon einmal mit der Berechnung deiner Korrelation los!

Viel Spaß!

Die Grundlagen statistischer Tests in der Medizin: Eine leicht verständliche Erklärung von p-Wert, Effektstärke und Hypothesen

Die Grundlagen statistischer Tests in der Medizin: Eine leicht verständliche Erklärung von p-Wert, Effektstärke und Hypothesen

von | Sep. 13, 2023 | Statistik

Die Grundlagen statistischer Tests in der Medizin: Eine leicht verständliche Erklärung von p-Wert, Effektstärke und Hypothesen

Du hast dich schon immer gefragt, warum wir eigentlich statistische Tests wie ANOVAs, t-Tests oder Regressionen rechnen?

Wäre es nicht viel einfacher die Ergebnisse deiner Studie anhand der deskriptiven Statistiken oder Grafiken zu beschreiben?

Welche Bedeutung haben p-Werte und Effektstärken im Rahmen eines statistischen Tests?

Und wozu brauchen wir Fallzahlschätzungen?

Alle diese Fragen beantworten wir dir in dieser Artikelreihe.

 

Du lernst außerdem:

  • wie inferenzstatistische Tests prinzipiell funktionieren
  • welche Annahmen ihnen zu Grunde liegen und
  • wie du die 3 Ebenen eines jeden statistischen Tests systematisch interpretierst.

Ein Tipp:

Lies die einzelnen Kapitel dieses Artikels in der vorgeschlagenen Reihenfolge und springe nicht von Thema zu Thema.

In den ersten Kapiteln werden wir dir erst einmal ein paar grundlegende statistische Begriffe und die Logik des statistischen Testens erklären.

Diese Kapitel sind zwar etwas nervig, aber unbedingt notwendig für die korrekte Interpretation deiner Studienergebnisse.

Artikel in dieser Reihe

  1. Die Grundlagen statistischen Testens in der Medizin: Eine leicht verständliche Erklärung von p-Wert, Effektstärke und Hypothesen.
  2. Stichprobe oder Population? Wo ist der Unterschied?
  3. Null- und Alternativhypothese – die Grundlage deiner Studie
  4. Fehler 1. und 2. Art und die Sache mit der Wahrscheinlichkeit
  5. Die Testlogik und der p-Wert
  6. Das Problem der Stichprobengröße
  7. So beurteilst du deine Studienergebnisse
  8. Die „optimale“ Stichprobengröße? Ein Fall für die Fallzahlschätzung!

Artikel in dieser Reihe

 

  1. Die Grundlagen statistischen Testens in der Medizin: Eine leicht verständliche Erklärung von p-Wert, Effektstärke und Hypothesen.
  2. Stichprobe oder Population? Wo ist der Unterschied?
  3. Null- und Alternativhypothese – die Grundlage deiner Studie
  4. Fehler 1. und 2. Art und die Sache mit der Wahrscheinlichkeit
  5. Die Testlogik und der p-Wert
  6. Das Problem der Stichprobengröße
  7. So beurteilst du deine Studienergebnisse
  8. Die „optimale“ Stichprobengröße? Ein Fall für die Fallzahlschätzung!

Unser Studienbeispiel – für dich zum Mitlernen und Verstehen

Stell dir vor, du möchtest anhand eines statistischen Tests (also inferenzstatistisch) untersuchen, ob Männer in Deutschland im Schnitt häufiger pro Monat zum Arzt gehen als Frauen.

Zu diesem Zweck erhebst du nun zufällig eine Stichprobe von 50 Männern und 50 Frauen aus Deutschland (wir werden später noch genauer auf die Wahl der Stichprobengröße eingehen).

Anschließend fragst du jede Person aus deiner Stichprobe, wie oft sie pro Monat den Arzt aufsucht. Direkt danach berechnest du getrennt für Männer und Frauen den zugehörigen Mittelwert, also die durchschnittliche Anzahl der Arztbesuche pro Monat.

 

Diese beiden Mittelwerte bezeichnen wir im Folgenden als M1 (Mittelwert der Männer) und M2 (Mittelwert der Frauen).

Du erhältst die folgenden (natürlich total fiktiven Werte):

M1 = 3.2

M2 = 2.5

Die 50 Männer deiner Stichprobe gehen also durchschnittlich 3.2 Mal pro Monat zum Arzt, die 50 Frauen deiner Stichprobe durchschnittlich 2.5 Mal.

 

Oder anders formuliert:

Der Mittelwertsunterschied zwischen den Männern und Frauen deiner Stichprobe ist M1 – M2 = 0.7.

Du siehst also ganz klar: Männer haben im Mittel 0.7 Arztbesuche mehr pro Monat als Frauen.

 

Bingo, Hypothese bestätigt! 

 

Oder nicht?

 

Das lernst du im nächsten Artikel.

Stichprobe oder Population? Wo ist der Unterschied?

Stichprobe oder Population? Wo ist der Unterschied?

von | Sep. 13, 2023 | Statistik

Stichprobe oder Population? Wo ist der Unterschied?

Artikel in dieser Reihe

  1. Die Grundlagen statistischen Testens in der Medizin : Eine leicht verständliche Erklärung von p-Wert, Effektstärke und Hypothesen
  2. Stichprobe oder Population? Wo ist der Unterschied?
  3. Null- und Alternativhypothese – die Grundlage deiner Studie
  4. Fehler 1. und 2. Art und die Sache mit der Wahrscheinlichkeit
  5. Die Testlogik und der p-Wert
  6. Das Problem der Stichprobengröße
  7. So beurteilst du deine Studienergebnisse
  8. Die „optimale“ Stichprobengröße? Ein Fall für die Fallzahlschätzung!

Artikel in dieser Reihe

 

  1. Die Grundlagen statistischen Testens in der Medizin: Eine leicht verständliche Erklärung von p-Wert, Effektstärke und Hypothesen
  2. Stichprobe oder Population? Wo ist der Unterschied?
  3. Null- und Alternativhypothese – die Grundlage deiner Studie
  4. Fehler 1. und 2. Art und die Sache mit der Wahrscheinlichkeit
  5. Die Testlogik und der p-Wert
  6. Das Problem der Stichprobengröße
  7. So beurteilst du deine Studienergebnisse
  8. Die „optimale“ Stichprobengröße? Ein Fall für die Fallzahlschätzung!

Die wichtigste Unterscheidung, die man bei statistischen Tests immer im Hinterkopf haben sollte, ist die zwischen Population und Stichprobe.

 Natürlich möchtest du im eben entwickelten Beispiel nicht wissen, ob die Männer deiner Stichprobe häufiger zum Arzt gehen als die Frauen deiner Stichprobe. Um diese Frage zu beantworten bräuchtest du keinen statistischen Test, sondern du kannst ja unmittelbar sehen, dass M1 größer ist als M2.

Deine Untersuchungsfrage bezieht sich also nicht auf die erhobene Stichprobe, sondern auf die zugehörige Population, aus der diese Stichprobe stammt.

Du möchtest wissen, ob Männer in Deutschland häufiger pro Monat einen Arzt aufsuchen als Frauen und gemeint ist damit, dass die Gesamtheit der Männer in Deutschland im Schnitt häufiger einen Arzt aufsucht als die Gesamtheit der Frauen in Deutschland.

 

Da du nun aber natürlich nicht die ganze Population (also sämtliche Männer und sämtliche Frauen aus Deutschland) untersuchen kannst, ziehst du eben zufällig aus dieser Population eine Stichprobe.

Das tust du in der Hoffnung anhand deiner Stichprobe Rückschlüsse auf die Population ziehen zu können (deshalb heißt das Ganze dann auch „Inferenzstatistik“).

Um diesen extrem wichtigen Unterschied (der auch nicht selten für Verwirrung und Ungereimtheiten in der Interpretation von Untersuchungsergebnissen sorgt) dauerhaft und sichtbar deutlich zu machen, ist es sinnvoll statistische Parameter (wie etwa den Mittelwert, die Standardabweichung oder auch die Korrelation), die sich sowohl auf die Stichprobe als auch auf die Population beziehen können, unterschiedlich zu kennzeichnen.

 

So kennzeichnen wir Parameter der Population und der Stichprobe:

So verwendet man für statistische Parameter, die sich auf die Stichprobe beziehen, lateinische Buchstaben wie beispielsweise M für den Mittelwert, S für die Standardabweichung oder r für die Korrelation zwischen zwei Variablen.

Meint man hingegen statistische Parameter, die sich auf die gesamte Population beziehen, dann bezeichnet man diese in der Regel mit griechischen Buchstaben wie μ für den Mittelwert der gesamten Population, σ für die Standardabweichung der gesamten Population und ρ für die Korrelation zweier Variablen innerhalb der gesamten Population.

 

Du kannst hier gut sehen, wie wichtig und nützlich solche unterschiedlichen Notationen sind, denn wenn man einfach nur von „Mittelwert“ oder „Standardabweichung“ reden würde, dann ist ohne Weiteres natürlich nicht klar, welches der beiden Konzepte (Stichproben- oder Populationsebene) denn nun gemeint ist!

Anhand unseres einfachen Beispiels siehst du wahrscheinlich sofort, dass:

  1. die beiden Stichprobenmittelwerte M1 und M2 natürlich davon abhängig sind, welche konkrete Stichprobe man gezogen hat (also welche 50 Frauen und welche 50 Männer aus der gesamten Population, denn auch bei Zufallsziehungen kann das ganz schön variieren!)
  2. es ziemlich wahrscheinlich ist, dass man bei einer weiteren zufällig gezogenen Stichprobe von 50 Männern und 50 Frauen ziemlich sicher andere Stichprobenmittelwerte bekommen würde (wie sehr anders weiß man natürlich nicht)
  3. in der Regel die erhobenen Stichprobenmittelwerte M1 und M2 nicht identisch den Mittelwerten der gesamten Population μ1 und μ2 sein werden (also den Mittelwerten von allen Männern bzw. Frauen aus Deutschland). Das folgt aus den ersten beiden Punkten.

 

Diese 3 Punkte werden für das weitere Verständnis wichtig sein!

Sie erklären dir auch, warum wir in verschiedenen Publikationen, die die gleiche Forschungsfrage untersuchen, abweichende Ergebnisse bekommen können.

 

 

Jetzt, wo das geklärt ist, geht es direkt weiter mit den Hypothesen, der Grundlage deines statistischen Tests.

Null- und Alternativhypothese – die Grundlage deiner Studie

Null- und Alternativhypothese – die Grundlage deiner Studie

von | Sep. 13, 2023 | Statistik

Null- und Alternativhypothese – die Grundlage deiner Studie

Artikel in dieser Reihe

  1. Die Grundlagen statistischen Testens in der Medizin: Eine leicht verständliche Erklärung von p-Wert, Effektstärke und Hypothesen
  2. Stichprobe oder Population? Wo ist der Unterschied?
  3. Null- und Alternativhypothese – die Grundlage deiner Studie
  4. Fehler 1. und 2. Art und die Sache mit der Wahrscheinlichkeit
  5. Die Testlogik und der p-Wert
  6. Das Problem der Stichprobengröße
  7. So beurteilst du deine Studienergebnisse
  8. Die „optimale“ Stichprobengröße? Ein Fall für die Fallzahlschätzung!

Artikel in dieser Reihe

 

  1. Die Grundlagen statistischen Testens in der Medizin: Eine leicht verständliche Erklärung von p-Wert, Effektstärke und Hypothesen
  2. Stichprobe oder Population? Wo ist der Unterschied?
  3. Null- und Alternativhypothese – die Grundlage deiner Studie
  4. Fehler 1. und 2. Art und die Sache mit der Wahrscheinlichkeit
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  7. So beurteilst du deine Studienergebnisse
  8. Die „optimale“ Stichprobengröße? Ein Fall für die Fallzahlschätzung!

Bei allen statistischen Tests gibt es immer eine Nullhypothese (kurz: H0) und eine Alternativhypothese (kurz: H1).

 

Ganz wichtig zu wissen:

Null- und Alternativhypothese beziehen sich immer auf die Populationsebene und nicht auf die Stichprobenebene.

Wie schon im ersten Artikel gesagt bräuchte man ja überhaupt keinen Test, wenn sich die Hypothesen auf die Stichprobenebene beziehen würden (was wäre das Leben dann einfach).

 

Die H0 und die H1 machen jeweils eine Aussage über statistische Parameter der Populationsebene, wobei sich diese Aussagen gegenseitig ausschließen.

Die Aussagen der H0 und der H1 können also nicht gleichzeitig wahr sein!

In unserem Beispiel lautet die H0, dass Männer und Frauen im Schnitt gleich häufig pro Monat den Arzt aufsuchen (und gemeint ist natürlich die Populationsebene).

 

Die H1 hingegen besagt, dass Männer häufiger pro Monat den Arzt aufsuchen (und gemeint ist hier natürlich ebenfalls die Populationsebene).

 

Du siehst, beide Hypothesen können nicht zusammen wahr sein!

 

Man könnte die beiden Hypothesen für unser Beispiel kurz auch folgendermaßen hinschreiben:

 

H0: μ1 = μ2

H1: μ1 > μ2

Die Alternativhypothese H1 kann dabei allgemein gerichtet oder ungerichtet sein. In unserem Beispiel ist sie gerichtet, da quasi die „Richtung“ des Unterschieds zwischen Männern und Frauen angegeben wird (μ1 > μ2).

 

Eine ungerichtete Alternativhypothese würde in unserem Beispiel besagen, dass sich Männer und Frauen im Schnitt darin unterscheiden, wie häufig sie pro Monat den Arzt aufsuchen, aber nicht, wie genau der Unterschied aussieht.

 

Wäre das die Alternativhypothese für unser Beispiel, dann könnte man diese kurz auch so schreiben:

H1: μ1 ≠ μ2

Aber müssen wir nur Hypothesen formulieren und dann geht es direkt los mit dem Testen?

 

Leider nein, das wäre ja zu schön. Dafür brauchen wir noch etwas mehr.

 

Weiter geht es daher mit dem Fehler 1. und 2. Art.

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