Fehler 1. und 2. Art und die Sache mit der Wahrscheinlichkeit

Es gibt ein paar Dinge, die du dir am besten irgendwo hin tätowierst, damit du sie nicht vergisst:

Ganz wichtig zu verstehen ist, dass du mit statistischen Tests nie (NIE!) beweisen kannst, ob denn nun deine H0 oder deine H1 ohne jeglichen Zweifel richtig ist.

Werbeversprechen wie: „Klinische Studien beweisen, dass unser Make-Up Akne reduziert“ sind falsch und ärgern mich so sehr, dass ich das Produkt garantiert nicht kaufe.

Ein statistischer Test erlaubt es dir stattdessen, dich aufgrund von Wahrscheinlichkeitsüberlegungen (mehr dazu gleich) für oder gegen die H1 zu entscheiden.

Nicht mehr und nicht weniger.

Eine erlaubte Aussage wäre daher folgende: „Klinische Studien sprechen dafür, dass unser Make-Up Akne reduziert.“

Um das besser zu verstehen, zeigen wir dir im Folgenden, welche (Fehl)-Entscheidungen im Rahmen eines statistischen Tests möglich sind.

Insgesamt gibt es 4 mögliche Szenarien, die bei einem statistischen Test eintreten können:

1. Wenn die H0 richtig ist, kannst du dich (korrekterweise) auch für die H0 entscheiden.
2. Wenn die H0 richtig ist, kannst du dich aber auch (fälschlicherweise) für die H1 entscheiden. Diese Fehlentscheidung nennt man den Fehler 1. Art.
3. Wenn hingegen die H1 richtig ist, kannst du dich (korrekterweise) auch für die H1 entscheiden.
4. Wenn die H1 richtig ist, kannst du dich wiederum aber auch (fälschlicherweise) für die H0 entscheiden. Diese Fehlentscheidung nennt man den Fehler 2. Art.

Hier das Ganze mal als Übersicht:

Hier das Ganze mal als Übersicht:

Das Problem ist also, dass du niemals wissen kannst, ob nun die H0 oder die H1 wahr ist, und daher kann deine Entscheidung eben auch falsch sein.

In unserem Beispiel würdest du also den Fehler 1. Art begehen, wenn du dich anhand des Tests dafür entscheidest, dass Männer im Schnitt häufiger zum Arzt gehen als Frauen (Entscheidung für H1), obwohl sich Männer und Frauen darin eigentlich nicht unterscheiden (die H0 gilt).

Den Fehler 2. Art würdest du begehen, wenn du dich dafür entscheiden würdest, dass sich Männer und Frauen nicht darin unterscheiden, wie oft sie im Schnitt zum Arzt gehen (Entscheidung für H0), obwohl die Männer eigentlich häufiger im Schnitt den Arzt aufsuchen (die H1 gilt).

Das Interessante daran ist:

Mit jeder der vier Entscheidungsmöglichkeiten ist eine bestimmte Wahrscheinlichkeit verknüpft.

 Und da diese Wahrscheinlichkeiten für die Logik statistischer Tests enorm wichtig sind, bekommen auch sie wieder eine eigene Bezeichnung: 

• die Wahrscheinlichkeit, den Fehler 1. Art zu begehen bezeichnet man mit α
• die Wahrscheinlichkeit, den Fehler 2. Art zu begehen, mit β.

Bitte nicht verwechseln: In der oberen Tabelle geht es um Entscheidungen, in der unteren Tabelle um die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten!

Wie du im nächsten Kapitel sehen wirst, können wir das α festlegen, und somit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art kontrollieren. Für das β ist die Lage leider etwas komplizierter. Im letzten Kapitel werden wir dir aber eine Möglichkeit vorstellen, die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art zumindest in Teilen zu kontrollieren.

Wichtig ist außerdem, dass α und β nicht unabhängig voneinander sind:

 

Je kleiner in einer konkreten Testsituation dein α ist, umso größer wird dein β sein. Und je größer dein α ist, umso kleiner wird dein β sein.

Das ist in gewisser Weise ein Dilemma, von dem du schon mal gehört haben solltest. Wir werden später auf diesen Punkt zurückkommen.

Fazit:

In diesem Kapitel hast du gelernt, dass es im Rahmen des statistischen Testens um eine Entscheidung für oder gegen die Nullhypothese/die Alternativhypothese geht.

Diese Entscheidung kann falsch oder richtig sein, da wir die Wahrheit nicht kennen. Es ist daher nicht möglich, mit einem Test Hypothesen zu beweisen und definitive Aussagen zu tätigen.

Wie du dir natürlich auch denken kann, ist unsere Entscheidung nicht vollkommen willkürlich. Stattdessen entscheiden wir uns aus guten Gründen für die Null- oder Alternativhypothese (dazu mehr in den folgenden Kapiteln).

Behalte dies im Rahmen deiner Auswertung immer im Hinterkopf – dann wird dir auch die Diskussion deiner Ergebnisse im Licht der Literatur viel leichter fallen.

Nun, wo du die 4 möglichen Szenarien sowie die damit verbunden Fehlerarten und Wahrscheinlichkeiten kennst, geht es direkt weiter zur Testlogik.